Welcome to Zero to Infinity Q&A. To ask questions or answer any question please Register first. Thank You.

1!=1 , 2!=2 , 3!=6 , n!=n(n-1)! হলে 0!= কত এবং কেন ?

7 like 0 dislike
4,658 views
asked Nov 9, 2013 in Mathematics by অভিষেক দাস (229 points)
20% Accept Rate

Share at -

2 Answers

5 like 1 dislike
answered Nov 13, 2013 by Ashik Ullah (325 points)
selected Nov 14, 2013 by অভিষেক দাস
 
Best answer
n! = n (n-1)!,  

So, (n+1)! = (n+1) n!

   or,   n! = (n+1)! / (n+1)

putting,  n = 0,    0! = 1! / 1 = 1/1 = 1

                  So, 0! = 1.

 

[ N.B: putting  n= -1,    (-1)! = 0! / 0 = 1/0 = undifined. ]
commented Nov 14, 2013 by অভিষেক দাস (229 points)
Thanks Boss , i get it .
3 like 1 dislike
answered Dec 1, 2013 by Kawsar Farhad (1,205 points)

n! = n*[(n-1)!] এই সমীকরণে n=1 বসিয়ে,

 

    => 1! = 1*[(1-1)!]

    => 1! = 1*0!

    => 1 = 0!; [যেহেতু 1! = 1]

    => 0! = 1

 

উপরের প্রমাণটা দেখে আমরা নিশ্চয়ই বুঝতে পারছি 0! = 1 কিভাবে হয়। এখন প্রশ্ন হলো কেন 0! = 1 হয়?

 

অনেকেই বলতে পারেন, ০ মানে কিছু নেই। তাহলে শূন্যের ফ্যাক্টোরিয়াল বের করার পিছনে কারণ কি?

 

ধরুন আপনার কাছে ৩টা বল আছে। বলগুলো তিনটি ভিন্ন ভিন্ন রংয়ের, লাল, সবুজ ও নীল। ৩টা বলকে কতভাবে বিন্যাস করা যায়? আপনি বলবেন, কেন 3!=6 উপায়ে! এবার আপনাকে বলা হলো বলগুলোকে একভাবে বিন্যাস (1!=1) করুন। বলগুলো ঠিক যে অবস্থায় ছিল বা যেভাবে আছে সেভাবেই থাকবে কারণ বলগুলোর বর্তমান অবস্থাটিই একটি বিন্যাস। এবার যদি বলি বলগুলোকে কোন বিন্যাস করবেন না, মানে 0!, এবার আপনি কি করবেন? বলগুলো যেভাবে ছিল সেভাবেই তো রেখে দিবেন, তাই না? তাহলে বলগুলো যেভাবে ছিল বা 0! করার পর যে অবস্থাতে আছে সেই অবস্থাটিও আবার একটি বিন্যাস। তাহলে দেখা যাচ্ছে 0! করার পর আমরা উত্তর পেলাম ১।

 

কিন্তু আপনি তো বলগুলোর অবস্থানের কোন পরিবর্তন করেননি! উইকিপিডিয়া থেকে খুব চমৎকার একটা কথা বলি, There is exactly one permutation of zero objects (with nothing to permute, "everything" is left in place)।

 

০ কে মাত্র একভাবেই সাজানো যায়, ১ মানে একটা জিনিস, ২ মানে দুইটা জিনিস... ... এভাবে ১০ মানে দশটা জিনিস।

 

শূন্য মানেই কিন্তু শূন্যতা নয়। শূন্যেরও একটি ব্যবহারিক দিক রয়েছে, তাই শূন্যেরও ফ্যাক্টোরিয়াল সম্ভব। উদাহরণঃ Digital Electronics & Logic Design-এ ০ মানে একটা ইনপুট, ১ মানেও একটা ইনপুট।  

 

এবার নতুন একটি প্রশ্ন নিয়ে আলোচনা করি। n=1 এর জন্য পেয়েছি 1! = 1 এবং 0! = 1। আমরা কি n=0 এর জন্য 0! = 1 প্রমাণ করতে পারি না?  

 

উত্তর হচ্ছে, না। কারণ, ফ্যাক্টোরিয়ালের সংজ্ঞা থেকে আমরা জানি, n এর মান কখনো শূন্য বা ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হতে পারে না।

 

commented Dec 2, 2013 by pecha (454 points)
very nice explanation.
commented May 29, 2016 by Muhammad Hossain (100 points)
দুই ভাই এর উত্তর দেখে তো আমি confuse হয়ে গেলাম। কারণ ১ম জন n=0 বসিয়ে proof করে Best Answer, আবার ২য় জন n=0 এর বিরোধিতা করতেছে Factorial এর  সংগা মতে। আমি কিন্তু Best Answer পাইলাম না।

4,677 questions

5,801 answers

1,861 comments

16,014 users

85 Online
0 Member And 85 Guest
Most active Members
this month:
  1. Reduan Hossain Riad - 1 points
Gute Mathe-Fragen - Bestes Mathe-Forum
...