Welcome to Zero to Infinity Q&A. To ask questions or answer any question please Register first. Thank You.

ফাংশন এর ডোমেইন ও রেঞ্জ কিভাবে নির্ণয় করে ?

3 like 0 dislike
5,361 views
asked May 17, 2016 in Mathematics by অদ্বৈত বিন্দু (733 points)
15% Accept Rate

edited May 19, 2016 by Baseplate007

Share at -

1 Answer

5 like 0 dislike
answered May 18, 2016 by Tarik Aziz (2,052 points)
selected May 18, 2016 by অদ্বৈত বিন্দু
 
Best answer
‪#‎ফাংশনের_ডোমেইন_রেঞ্জ_নির্ণয়‬

আমরা জানি, ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদানের সেটকে বলে ডোমেইন আর দ্বিতীয় উপাদানের সেটকে বলে রেঞ্জ।

ধরা যাক, F = {(a, 2), (b, 4), (c, 6), (d, 8)}

তাহলে ফাংশনটির ডোমেইন = {a, b, c, d} এবং রেঞ্জ={2,4, 6, 8}

এখন, F এর বিপরীত ফাংশন (F^-1)= {(2, a), (4, b), (6, c), (8, d)}

F^-1 এর ডোমেইন = {2,4, 6, 8} এবং রেঞ্জ = {a, b, c, d}

উপরের আলোচনা থেকে আমরা এটি বলতে পারি যে, “F এর রেঞ্জ = F^-1 এর ডোমেইন।” এই স্টেটমেন্টটি পরবর্তীতে আলোচনাতে বেশ কাজে লাগবে।

তাহলে ডোমেইন দিয়েই কোন ফাংশনের রেঞ্জও নির্ণয় করা যায়। এক্ষেত্রে ফাংশনটির বিপরীত(inverse) ফাংশনের ডোমেইন নির্ণয় করলেই হবে।

ফাংশনের ডোমেইন নির্ণয়ের ক্ষেত্রে ২টি নিয়ম সবসময় লক্ষ্য রাখা জরুরিঃ

#(১) বর্গমূল চিহ্নের(√x) ভিতরের অংশ কখন ঋণাত্মক হতে পারবে না। কারণ √(-x) অসংজ্ঞায়িত। ডোমেইন অবশ্যই x>= 0 হবে।

#(২) ফাংশনটি ভগ্নাংশ(y/x) হলে হর কখনও শূন্য হতে পারবে না। কারণ Y/0 অসংজ্ঞায়িত। এক্ষেত্রে ডোমেইন হবে x not equal to 0(x!=0)

!= এর মানে ‪#‎not_equal_to‬

এবার আমরা f(x) = 1/(x-2) এর ডোমেইন ও রেঞ্জ নির্ণয় করে উপরের ধারনাটা আরেকটু পরিষ্কার করব।

‪#‎ডোমেইন_নির্ণয়ঃ‬ এটি যেহেতু ভগ্নাংশ তাই, X-2 != 0 => X != 2

তার মানে 2 ব্যাতিত সকল বাস্তব মানের জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত। তাহলে x = 1, -1, 2….. বসিয়ে দেখি f(x) বা Y এর কোন valid মান আসে কি না। যে সব ক্ষেত্রে valid মান আসবে তারা ডোমেইনের অন্তর্ভুক্ত।আর valid মান না আসলে তারা ডোমেইনের অন্তর্ভুক্ত নয়(এই ফাংশনটির জন্য একমাত্র 2 invalid)।

f(1) = 1/(1-2) = 1/-1 = -1 (valid)

f(-1) = 1/(-1-2) = 1/-3 (valid)

f(2) = 1/(2-2) = 1/0 = ∞ (in valid)

f(-2) = 1/(-2-2) = 1/-4(valid)

তাহলে ফাংশনটির ডোমেইন= R-{2}. মানে 2 বাদে সকল বাস্তব সংখ্যা। এটাকে ‪#‎Interval_notation‬ এর মাদ্ধমে লিখতে হবে এভাবেঃ

(-∞,2) U (2,∞)

‪#‎রেঞ্জ_নির্ণয়‬: রেঞ্জ নির্ণয়ের জন্য বিপরীত ফাংশনের ডোমেইন নির্ণয় করব। অর্থাৎ f^-1(x) এর ডোমেইন নির্ণয় করব।

f(x) = Y = 1/(x-2)

so, x = f^-1(Y)................(1)

again, Y = 1/(x-2)

=> Yx-2Y = 1

=> Yx = 1+2Y

=> x = (1+2Y)/Y

=> f^-1(Y)= (1+2Y)/Y [from (1)]

so, f^-1(x) = (1+2x)/x

যেহেতু f^-1(x) ভগ্নাংশ তাই এর ডোমেইন সংজ্ঞায়িত হবে যখন X != 0 হবে। তাহলে f^-1(x) এর ডোমেইন হবে শূন্য(0) বাদে সকল বাস্তব সংখ্যা।

f^-1(x) এর ডোমেইন = R – {0}

যেহেতু, “f(x) এর রেঞ্জ = f^-1(x) এর ডোমেইন”, তাই, f(x) এর রেঞ্জ = R – {0}

এটাকে #Interval_notation এর মাদ্ধমে লিখতে হবে এভাবেঃ (-∞,0) U (0,∞)

f(x) = 1/(x-2), এ লক্ষ্য করলেও বিষয়টি আরও স্পষ্ট হয়- 1/(x-2) এর ভাগফল শূন্য হবে তখনই যখন 1=0 হবে। কিন্তু 1!=0 । অর্থাৎ f(x) এর output এ আমরা কখন শূন্য(0)পাব না, f(x) এর রেঞ্জে শূন্য অন্তর্ভুক্ত হবে না।

ফাংশনের ডোমেইন ও রেঞ্জ গ্রাফের সাহায্যেও নির্ণয় করা যায়।

4,677 questions

5,802 answers

1,861 comments

16,017 users

40 Online
0 Member And 40 Guest
Most active Members
this month:
  1. Reduan Hossain Riad - 1 points
  2. The Rysul - 1 points
Gute Mathe-Fragen - Bestes Mathe-Forum
...